扭曲拓扑环面变换(又名甜甜圈数学)- EEJournal - 亚博首页官网手机登录,亚博yabovip2019进入

随着时间的推移，原因将会揭晓，我正在与一系列令人困惑的装腔作势者搏斗，这些人围绕着与圆环(torus，复数tori)相关的数学问题，也就是俗称的甜甜圈。

在我们兴致盎然地投入争论之前，让我们首先提醒自己，在数学领域中，拓扑学的主题与几何物体在连续变形(如拉伸、扭曲、弯曲和弯曲)下保持的性质有关;也就是说，不闭孔、不开孔、不撕裂、不粘合，也不让物体自己穿过。

以我为例，是拓扑结构的扭曲特性导致我可怜的老脑髓像陀螺一样旋转。首先，我想让你想象一个巨大的甜甜圈，它的外径是24英寸，中间的洞直径是8英寸——就像下图所示的那样。

我不在乎你说什么，这是一个大甜甜圈(图片来源:维基百科/Max)

现在，假设我们剪了一张8英寸宽50.27英寸长的纸，如下图(a)所示。为什么是50.27英寸长?好吧，如果我们把这个包裹在周围，使两端满足形成一个圆柱体，那么这个圆柱体的直径将是16“，这是我的甜甜圈的外径和它的洞的内径之间的中间，如下图(b)所示。

用单条纸形成圆柱体(图片来源:Max Maxfield)

创建这个直径为16英寸的圆柱体的原因将在充分的时间变得明显。然而，首先，观察上图中的圆柱体有两条边(顶部和底部)和两个面(内部和外部)。如果我们将手指放在任意一条边的某一点上，并在圆柱体上移动它，直到回到起点，我们将-毫不奇怪-绕圆一周，对任何一个面也是如此。

现在，我相信我们都熟悉Möbius条带(又名Möbius条带又名Möbius循环)的概念。这里的想法是，我们从原始的纸条开始，将它包裹起来，使一端与另一端相遇，但然后将一端旋转180°，然后将两端连接在一起，如下图所示。

创建Möbius条(图片来源:Wikipedia/OgreBot/Max)

结果只有一条边和一个面。如果我们将手指放在边缘的某一点上，并沿着边缘移动它，直到我们回到起点，我们将基本上“绕圆走了两圈”，对于面部也是如此。

最后需要注意的一点是，如果我们将一端旋转360°，然后将两端连接在一起，那么我们就会回到两个曲面和两个边。另一种表示我们到目前为止讨论的所有三种情况的方法如下所示。

用另一种描述来概括前三个例子
(图片来源:Max Maxfield)

在这种情况下，术语“轨道”指的是我们在返回起点之前必须绕着条带旋转的次数。另外，注意红黄线。确保你理解为什么A '和C之间的线会以(A)和(C)的方式呈现;还有，为什么它们会变成(b)。当我们深入沼泽，面对即将到来的恐怖时，这些句子将被证明是有用的。

现在，你可能会认为这一切都有点微不足道。如果是的话，我们提高赌注怎么样?记住，我们最初的纸条是8英寸高。假设我们形成一个“交叉带”通过附加两个额外的条带到原来的带的中心，一个在每边安装在90°如下(a)所示。在这种情况下，十字带的角在一端标记为A, B, C和D，在另一端标记为A '， B '， C '和D '。让我们假设每个新条带都是4英寸宽，这意味着两个条带加起来是8英寸宽。

加大赌注(图片来源:Max Maxfield)

在这个基本交叉带的例子中，在我们进行任何扭曲和连接之前，我们可以说它有四条边:A到A '， B到B '， C到C '， D到D '。我们也可以说它有四个面:以A到A '到C '到C为界的平面的两边，以及以B到B '到D '到D为界的平面的两边。

现在假设我们取横条的一端，将其弯曲而不扭曲，并将其连接到另一端，这样A连接到A '， B连接到B '， C连接到C '， D连接到D '。

我们的“甜甜圈”的自上而下(鸟瞰)视图如图(b)所示。请记住，我们的横带一开始仍然是50.27英寸长，因此A到A '圈的直径为16英寸。如果我们假设我们的新“边条”是用一种特殊的纸制成的，它可以根据需要拉伸或压缩，那么我们的甜甜圈的外径将是24英寸，中心孔的直径将是8英寸，因此与原始甜甜圈的大小相匹配。

假设我们把一根手指放在D点，沿着甜甜圈的外缘顺时针滑动，直到到达D点。毫不奇怪，我们绕着圆走了一圈，所走的距离就是这个圆的周长2*Pi*r = Pi*D = Pi*24 = 75.40 "。

好的，现在假设我们创建了两个交叉带甜甜圈的新实例，一个是半扭，一个是全扭。我们可以总结我们的三个交叉带化身如下所示。