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曲折拓扑环形变换(又称甜甜圈数学)

我正在与一组令人困惑的难题搏斗,这些难题围绕着环面(俗称“甜甜圈”)的数学运算。

在我们兴致勃勃地投入争论之前,让我们首先提醒自己,在数学领域,拓扑学的主题涉及在连续变形(如拉伸、扭曲、揉皱和弯曲)下保存下来的几何物体的特性;也就是说,没有闭孔、开孔、撕裂、粘合或让物体自己穿过。

在我的例子中,是拓扑结构的扭曲特性导致我可怜的老脑壳像陀螺一样旋转。作为开始,我想让你想象一个巨大的甜甜圈,它的外径是24英寸,中心的洞的直径是8英寸——就像下面这个漂亮的图片。

我不管你说什么,这是一个大甜甜圈(图片来源:Wikipedia/Max)

现在,假设我们剪一张8英寸宽,50.27英寸长的纸条,如下图(a)所示。为什么50.27”很长时间吗?好吧,如果我们把它绕起来,使两端相接形成一个圆柱体,那么这个圆柱体的直径将是16”,这是我的甜甜圈的外径和洞的内径之间的一半,如下图(b)所示。

由单条纸形成圆柱体(图像来源:Max Maxfield)

创建这个直径为16英寸的圆柱体的原因将在适当的时间变得明显。首先,观察上面图像中的圆柱体有两条边(顶部和底部)和两个面(内部和外部)。如果我们把一根手指放在任意一个边的某个点上,并沿着圆柱体移动它,直到我们回到起始点,我们将毫不奇怪地绕着一个圆走了一圈,同样地,对于任何一个面来说。

现在,我相信我们都熟悉Möbius strip(又名Möbius band或Möbius loop)的概念。这里的想法是,我们从最初的纸条开始,把它绕起来,使一端与另一端相交,然后通过旋转180°给一端半捻,然后将两端连接在一起,如下图所示。

创建Möbius条形图(图片来源:Wikipedia/OgreBot/Max)

结果只有一条边和一个面。如果我们将一根手指放在边缘的某个点上,并沿着边缘移动它,直到我们返回起始点,我们将本质上“绕了一圈”两次,对于脸部也是如此。

最后要注意的一点是,如果我们在连接两端之前将一端旋转360°,使其完全扭转,那么我们将恢复到有两个面和两条边。表示我们目前讨论过的这三种情况的另一种方法如下所示。

用另一种描述来回顾前三个例子
(图片来源:Max Maxfield)

在这种情况下,“轨道”一词指的是我们在回到起点之前绕着长条飞行的次数。同时,观察红色和黄色的线。确保你理解为什么A '和C之间的线是以(A)和(C)的方式呈现的;此外,它们为什么会改变(b)。当我们深入沼泽,面对即将到来的恐怖时,这些线将被证明是有用的。

现在,你可能会认为这一切都是微不足道的。如果是的话,我们提高赌注怎么样?记住,我们最初的纸条有8英寸高。假设我们形成了一个“交叉条”,通过附加两个附加条到原始条的中心,在每一边以90°安装,如下(a)所示。在这种情况下,交叉条的角在一端标记为A、B、C和D,在另一端标记为A '、B '、C '和D '。让我们假设每条新带子都是4英寸宽,这意味着这两条带子加起来是8英寸宽。

提高赌注(图片来源:Max Maxfield)

在这个基本的交叉带的情况下,在我们进行任何扭转和连接之前,我们可以说它有四条边:A到A ', B到B ', C到C '和D到D '。我们也可以说它有四个面:平面的两边以A到A '到C '到C为边界,平面的两边以B到B '到D '到D为边界。

现在假设我们取交叉带的一端,弯曲它而不是扭曲它,并将它连接到另一端,这样A连接到A ', B连接到B ', C连接到C ', D连接到D '。

从上到下(鸟瞰)的“甜甜圈”如图(b)所示。记住,我们的交叉带开始时仍然是50.27 "长,导致A到A '圆的直径是16 "。如果我们假设新创建的“条”是一种特殊类型的纸,拉伸或压缩的要求,然后我们甜甜圈的外径24”和中心孔的直径是8“,从而匹配原来的甜甜圈的大小。

假设我们将一根手指放在D点,顺时针沿着甜甜圈的外缘滑动,直到到达D '点。不出所料,我们绕这个圆走了一圈所走的距离就是这个圆的周长由2* r = *D = *24 = 75.40 "给出。

好,现在假设我们创建了两个新的跨带甜甜圈实例,一个是半扭的,一个是完全扭的。我们可以总结我们的三个交叉的化身如下所示。

总结我们的三个交叉条纹的化身(图像来源:Max Maxfield)

我担心你可能仍然认为这一切都是“easy peasy lemon squeezy”,所以让我们把事情再提升一个层次。假设,在连接交叉带的两端之前,我们通过旋转它90°,对其中的一端施加四分之一扭转,然后将两端连接在一起,如下所示。

给我们的交叉带一个单一的四分之一扭转(图像来源:Max Maxfield)

那么,在这个四分之一扭转的情况下,我们有多少条边?我们有几张脸?如果我们将手指放在A点,我们将绕这个圆走多少圈才能回到起始点(我打赌你很高兴我添加了这些彩色线,LOL)?

作为一个额外的问题,记住我们的手指将沿着一条螺旋路径在甜甜圈的外径(直径24英寸)和内径(直径8英寸)之间,它会走多远?

我要阐述、解释和进一步阐明,但我不认为这是公平的让我所有的乐趣(我一直梦想这东西在过去的几个晚上),所以我要离开你,面条,和我们将在以后的专栏中讨论这个难题。在此之前,一如既往,我欢迎你们的评论、问题和建议。

关于“曲折拓扑环形变换(又称甜甜圈数学)”的一种思考

  1. 我的朋友彼得·特拉纽斯·安德森(又名特拉纽斯·雷克斯)正确地回答了我的问题如下:

    曲折= 0.25
    边缘= 1
    面临= 1
    轨道= 4

    彼得接着提出了一个他自己的难题:

    对于绕甜甜圈旋转的0弧度扭转,我们有0度的情况。
    对于每旋转旋转弧度,我们有180度的情况。
    对于/2弧度的旋转,我们有90度的情况。
    对于每旋转一个弧度的扭转,我们有?

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