在我前一列在这个话题上，我注意到——原因将在充分的时间里揭示——我目前正在与一系列令人困惑的装腔作势者进行斗争，这些人围绕着围绕一个圆环(复数tori)旋转的数学，它通俗地称为甜甜圈。
我们从一张简单的纸开始我们的思维实验。将一端绕成圆形，并将其连接到另一端，就形成了一个有两个边(顶部和底部)和两个面(内部和外部)的环。我们还注意到，如果我们将手指放在其中一个边缘上的某个点上，并绕着环移动，直到我们回到起点，我们将-毫不奇怪-执行单个轨道(即，绕环一次)。
接下来，从同一张纸开始，我们把它的一端旋转180°，然后把两端连接在一起。这就产生了一个Möbius带单边和单面。在这种情况下，如果我们把一根手指放在边缘的某个点上，并绕着环移动，直到回到起点，我们将完成两个轨道，并旋转360°。
我们还注意到，如果我们在连接两端之前将一端旋转360°，然后将其完全扭转，那么我们将回到两个表面和两个边。我们以图形方式总结了迄今为止讨论过的三种情况，如下图所示。
捻度为0.0、0.5和1.0的简单条的摘要
(图片来源:Max Maxfield)
在这一点上，我们决定“升级我们的游戏”，我们称之为“交叉带”，我们通过在原始带的中心附加两个额外的薄带来创建，一边一个，以90°安装。然后，我们用这个十字带组成三个环:第一个没有扭曲，第二个有半扭曲，第三个有完全扭曲。下面再次以图形形式总结了这三种情况。
扭曲度为0.0、0.5和1.0的交叉带总结
(图片来源:Max Maxfield)
我们通过考虑另一种可能性来结束第一栏。假设，就在连接交叉带的两端之前，我们应用a直角回转将其旋转90°，将其移至其中一端。然后我们就这个四分之一扭曲的案例提出了一些问题。我们有多少条边?我们有多少张脸?如果我们把手指放在边缘的某一点上，在回到起点之前，我们要绕圆周几圈?这些问题的答案如下图所示。
将十字带拧四分之一(图片来源:Max Maxfield)
作为题外话，正如在原专栏的评论中看到的那样，我的朋友彼得·特拉内斯·安德森(又名特拉内斯·雷克斯)正确地回答了这个问题。他还提出了自己的一个观点，总结如下:
- 对于每绕甜甜圈旋转0弧度的扭曲，我们有0度的情况。
- 对于每旋转的弧度，我们有180度的情况。
- 对于/2弧度/旋转，我们有90度的情况。
- 每旋转一个弧度，我们有…?
我要让你琢磨一下这个问题(只是要注意，彼得是个狡猾的小流氓)。回到我们的四分之一扭转场景，我不知道你怎么想，但我发现这个结果相当令人惊讶。在简单的条带的情况下，我们通过应用半扭转，以单面和单面结束;相比之下，在交叉带的情况下，我们只应用四分之一的捻度就达到了同样的效果。“这怎么可能?”我心想。
答案对你来说可能是显而易见的，但我晚上躺在床上思考这个难题。最终，我想出了一个似乎有意义的解决方案(至少对我来说是这样)。我是这样熬过来的。假设我们回到一个简单的条带，就像我们开始的那样，但我们只应用了四分之一的扭曲，如下图所示:
将一条简单的带子拧四分之一(图片来源:Max Maxfield)
在这一点上，事情似乎有点没有意义，因为我们不能把我们的两端连接在一起，但这是聪明的部分。试着想象一下，如果我们让两端相互接触，即使我们不能把它们连接起来，事情会是什么样子，如下(a)所示。
简单的带四分之一扭曲-把两端放在一起(a)和挤压(b)(图片来源:Max Maxfield)
现在假设我们以某种方式从其A ' c '边缘“挤出”带材，使其通过(并与)带材的AC端合并，如(b)所示。如果我们继续挤出A ' c '边缘，因为它继续环绕带材-在途中经历另四分之一的扭曲-然后，当我们回到最初的起点时，我们挤出的A ' C '边现在可以与我们的AC边连接起来，这样A '连接到C, C '连接到A，这有点相当于我们对原始交叉带施加了半扭。
就年龄而言，64是新的40(我每天都这样告诉自己——如果前者是十进制的，后者是十六进制的，这也是正确的)，当涉及到环面，如果我们以正确的方式看待事物，四分之一转就是新的半转(你可能会发现，如果你把灯调暗，眯着眼睛看，它会有所帮助)。
现在考虑另外一个相关的难题。假设我们从最初的交叉带开始，在将两端连接在一起之前，在末端施加一又四分之一(1.25)的扭转。如果我们从鸟瞰的角度向下看我们的圆环(甜甜圈)，我们会看到如下图所示的五个弯曲的“辐条”(不要问我是怎么知道的，因为我永远不会告诉你)。
扭曲1 / 4(1.25)的横带环面鸟瞰图(图片来源:Max Maxfield)
这五条“辐条”究竟从何而来?我花了很长时间来解决这个问题(这是我最终在凌晨思考的另一个问题)。这一切都源于我们意识到，应用于交叉带的四分之一扭转有点相当于应用于简单带的半扭转。因此，如果我们在横纹带上施加1.25圈，这就相当于在简单的横纹带上施加2.5圈，而2.5圈是5个半圈，每半圈都会产生一个“辐条”，就像在甜甜圈上看到的那样。
不客气
PS一旦你把你的大脑包裹在所有这些，请随时加入我，考虑必须与一个非常交叉的带工作:
横切面的横切面图(图片来源:Max Maxfield)
这是由四条简单的条带以45°的角度相互合并而成的(上图显示了横截面视图)。假设我们在将两端连接在一起之前对一端施加3/8的捻度。你知道这个练习:我们有多少条边，多少个面，多少个轨道?
